442 Найдите объём куба АВСDA1B1C1D1, если: а) АС = 12 см; б) АС₁ = = 3√2 м; в) DE = 1 см, где Е- середина ребра АВ.

a) Рассмотрим квадрат ABCD, где АС - диагональ. Так как ABCD - квадрат, то AB = BC, и угол ABC = 90°. По теореме Пифагора:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2$$

$$12^2 = AB^2 + AB^2$$

$$144 = 2 медальAB^2$$

$$AB^2 = 72$$

$$AB = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ см

Объем куба равен:

$$V = AB^3 = (6\sqrt{2})^3 = 6^3 \cdot (\sqrt{2})^3 = 216 \cdot 2\sqrt{2} = 432\sqrt{2}$$ см³

б) АС₁ = 3√2 м = 300√2 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACC₁. AC₁ - гипотенуза, АС - катет, CC₁ - катет. По теореме Пифагора:

$$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$$

CC₁ = AА₁ - ребро куба. Пусть АС = x, тогда:

$$AC^2 + CC_1^2 = (300\sqrt{2})^2$$

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$$

$$AC_1^2 = 2x^2 + x^2 = 3x^2$$

$$3x^2 = (300\sqrt{2})^2$$

$$3x^2 = 90000 \cdot 2$$

$$3x^2 = 180000$$

$$x^2 = 60000$$

$$x = \sqrt{60000} = \sqrt{6 \cdot 10000} = 100\sqrt{6}$$

Ребро куба $$a = 100\sqrt{6}$$ см.

Объем куба $$V = a^3 = (100\sqrt{6})^3 = 100^3 \cdot (\sqrt{6})^3 = 1000000 \cdot 6\sqrt{6} = 6000000\sqrt{6}$$ см³

в) Пусть ребро куба равно а. Тогда АВ = а. Т.к. Е - середина ребра АВ, то АЕ = ЕВ = а/2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE. По теореме Пифагора:

$$DE^2 = AD^2 + AE^2$$

$$1^2 = a^2 + (\frac{a}{2})^2$$

$$1 = a^2 + \frac{a^2}{4}$$

$$1 = \frac{4a^2 + a^2}{4}$$

$$1 = \frac{5a^2}{4}$$

$$5a^2 = 4$$

$$a^2 = \frac{4}{5}$$

$$a = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$$ см.

Объем куба равен:

$$V = a^3 = (\frac{2\sqrt{5}}{5})^3 = \frac{2^3 \cdot (\sqrt{5})^3}{5^3} = \frac{8 \cdot 5\sqrt{5}}{125} = \frac{40\sqrt{5}}{125} = \frac{8\sqrt{5}}{25}$$ см³

Ответ: a) $$432\sqrt{2}$$ см³; б) $$6000000\sqrt{6}$$ см³; в) $$\frac{8\sqrt{5}}{25}$$ см³