Найдите х. 7 △MPR - правильный P T x 8 M R

7. Так как треугольник MPR правильный, все стороны равны. Значит MP = PR = MR = x. Поскольку PT - высота и медиана, то TR = 1/2 * MR = 1/2 * x.

Треугольник MTP - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$PT^2 + TR^2 = PR^2$$

$$8^2 + (x/2)^2 = x^2$$

$$64 + \frac{x^2}{4} = x^2$$

$$64 = x^2 - \frac{x^2}{4}$$

$$64 = \frac{3}{4} x^2$$

$$x^2 = 64 \cdot \frac{4}{3} = \frac{256}{3}$$

$$x = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3}$$

Ответ: $$\frac{16\sqrt{3}}{3}$$