9. На рисунке 276 ∠ABE = ∠CBE, ∠AEB = ∠СЕВ. Докажите равенство отрезков AD и CD.

9. Рассмотрим треугольники ABE и CBE. У них:

∠ABE = ∠CBE (по условию)

∠AEB = ∠CEB (по условию)

BE - общая сторона

Следовательно, треугольники ABE и CBE равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство сторон: AB = BC и AE = CE.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как AB = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. BE - биссектриса (∠ABE = ∠CBE). В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, AE = CE, и BE - высота, то есть BE ⊥ AC.

Рассмотрим треугольники AED и CED. У них:

AE = CE (так как BE - медиана)

∠AED = ∠CED = 90° (так как BE - высота)

DE - общая сторона

Следовательно, треугольники AED и CED равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство сторон: AD = CD, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.