10. На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС отметили соответственно точки Ми К так, что ∠BAK = <ВСМ. Докажите, что ВМ = BK.

Дано: ΔABC — равнобедренный (AB = BC), M ∈ AB, K ∈ BC, ∠BAK = ∠BCM.

Доказать: BM = BK.

Доказательство:

Так как ΔABC равнобедренный и AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA.

∠BAK = ∠BCM (по условию).

Значит, ∠BAC - ∠BAK = ∠BCA - ∠BCM.

Отсюда следует, что ∠KAC = ∠MCA.

Рассмотрим ΔABK и ΔCBM:

• AB = BC (так как ΔABC равнобедренный)
• ∠BAK = ∠BCM (по условию)
• ∠B — общий

Следовательно, ΔABK = ΔCBM по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует, что BK = BM.

Ответ: BM = BK (что и требовалось доказать).