5. \(\log_{2}(x^2 + 6x - 3) - \log_{2}(x + 3) = 2\)

Используем свойства логарифмов: \(\log_{2} \frac{x^2 + 6x - 3}{x + 3} = 2\) Преобразуем уравнение, используя определение логарифма: \(\frac{x^2 + 6x - 3}{x + 3} = 2^2\) \(\frac{x^2 + 6x - 3}{x + 3} = 4\) x^2 + 6x - 3 = 4(x + 3) x^2 + 6x - 3 = 4x + 12 x^2 + 2x - 15 = 0 Решим квадратное уравнение: D = 2^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 x_1 = \frac{-2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 + 8}{2} = 3 x_2 = \frac{-2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-2 - 8}{2} = -5 Проверим, входят ли x = 3 и x = -5 в область определения логарифмов: Для x = 3: x^2 + 6x - 3 = 3^2 + 6(3) - 3 = 9 + 18 - 3 = 24 > 0 x + 3 = 3 + 3 = 6 > 0 Для x = -5: x^2 + 6x - 3 = (-5)^2 + 6(-5) - 3 = 25 - 30 - 3 = -8 < 0 Так как выражение под логарифмом должно быть положительным, x = -5 не является решением. Значит, x = 3 является решением. **Ответ: x = 3**