5. Квадрат со стороной 3 см вращается вокруг своей диагонали. Найдите объем тела вращения.

При вращении квадрата вокруг диагонали получается два конуса, соединенных основаниями. Объем тела вращения равен сумме объемов этих конусов.

Дано:

• Сторона квадрата: $$a = 3 \text{ см}$$.

Найти: Объем тела вращения V.

Решение:

1. Диагональ квадрата: $$d = a\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \text{ см}$$.
2. Радиус основания конуса (половина диагонали): $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$.
3. Высота конуса (половина диагонали): $$h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см}$$.
4. Объем одного конуса: $$V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см})^2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{9 \cdot 2}{4} \text{ см}^2 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см} = \frac{1}{3} \pi \cdot \frac{18}{4} \cdot \frac{3\sqrt{2}}{2} \text{ см}^3 = \frac{54\sqrt{2}\pi}{24} \text{ см}^3 = \frac{9\sqrt{2}\pi}{4} \text{ см}^3$$.
5. Объем тела вращения (два конуса): $$V = 2V_{конуса} = 2 \cdot \frac{9\sqrt{2}\pi}{4} \text{ см}^3 = \frac{9\sqrt{2}\pi}{2} \text{ см}^3$$.

Ответ: $$\frac{9\sqrt{2}\pi}{2} \text{ см}^3$$