Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.

Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры, но квадрат всегда будет иметь большую площадь, чем ромб, при условии, что их периметры равны.

Обоснование:

Пусть P – периметр обеих фигур, а – сторона квадрата, b – сторона ромба, h – высота ромба, α – угол между сторонами ромба.

Периметр квадрата: $$P = 4a$$, отсюда $$a = \frac{P}{4}$$.

Площадь квадрата: $$S_{квадрата} = a^2 = (\frac{P}{4})^2 = \frac{P^2}{16}$$.

Периметр ромба: $$P = 4b$$, отсюда $$b = \frac{P}{4}$$.

Площадь ромба: $$S_{ромба} = b \cdot h$$, где h – высота ромба.

Высота ромба: $$h = b \cdot sin(α)$$, где α – угол между сторонами ромба.

Площадь ромба: $$S_{ромба} = b^2 \cdot sin(α) = (\frac{P}{4})^2 \cdot sin(α) = \frac{P^2}{16} \cdot sin(α)$$.

Так как $$\alpha < 90^\circ$$, то $$sin(α) < 1$$.

Следовательно, площадь ромба: $$S_{ромба} = \frac{P^2}{16} \cdot sin(α) < \frac{P^2}{16} = S_{квадрата}$$.

Ответ: Квадрат имеет большую площадь, чем ромб, при условии, что их периметры равны.