Г)4 \(\cdot\) 3^{2x} - 13 \(\cdot\) 6^x + 9 \(\cdot\) 2^{2x} = 0

Решение:

Это однородное показательное уравнение. Можно решить, разделив обе части на наименьшую степень и приведя к квадратному уравнению.

1. Заметим, что \( 3^{2x} = (3^x)^2 \), \( 6^x = (2 · 3)^x = 2^x · 3^x \) и \( 2^{2x} = (2^x)^2 \).
2. Уравнение можно переписать так: \( 4 \cdot (3^x)^2 - 13 \cdot 2^x \cdot 3^x + 9 \cdot (2^x)^2 = 0 \).
3. Разделим обе части уравнения на \( (2^x)^2 \) (так как \( 2^x \) никогда не равно нулю, это допустимо): \( 4 \frac{(3^x)^2}{(2^x)^2} - 13 \frac{2^x · 3^x}{(2^x)^2} + 9 \frac{(2^x)^2}{(2^x)^2} = 0 \)
4. Упростим: \( 4 \left(\frac{3}{2}\right)^{2x} - 13 \left(\frac{3}{2}\right)^x + 9 = 0 \).
5. Сделаем замену: пусть \( y = \left(\frac{3}{2}\right)^x \). Тогда уравнение примет вид: \( 4y^2 - 13y + 9 = 0 \).
6. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4 · 4 · 9 = 169 - 144 = 25 \).
7. Корни квадратного уравнения: \( y_1 = \frac{13 + \sqrt{25}}{2 · 4} = \frac{13 + 5}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4} \) и \( y_2 = \frac{13 - \sqrt{25}}{2 · 4} = \frac{13 - 5}{8} = \frac{8}{8} = 1 \).
8. Вернемся к замене \( y = \left(\frac{3}{2}\right)^x \).
9. Случай 1: \( \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4} \). Так как \( \frac{9}{4} = \left(\frac{3}{2}\right)^2 \), то \( x = 2 \).
10. Случай 2: \( \left(\frac{3}{2}\right)^x = 1 \). Так как \( 1 = \left(\frac{3}{2}\right)^0 \), то \( x = 0 \).

Ответ: x = 0, x = 2.