B)5^{2x} - 4 \(\cdot\) 5^x - 5 = 0

Решение:

Это показательное уравнение, которое можно свести к квадратному, сделав замену переменной.

1. Заметим, что \( 5^{2x} = (5^x)^2 \).
2. Сделаем замену: пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид: \( y^2 - 4y - 5 = 0 \).
3. Это обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Можно использовать теорему Виета или дискриминант. По теореме Виета: \( y_1 + y_2 = 4 \) и \( y_1 \cdot y_2 = -5 \). Легко подобрать корни: \( y_1 = 5 \) и \( y_2 = -1 \).
4. Теперь вернемся к замене \( y = 5^x \).
5. Подставим найденные значения \( y \): \( 5^x = 5 \) и \( 5^x = -1 \).
6. Первое уравнение: \( 5^x = 5 \). Так как \( 5 = 5^1 \), то \( x = 1 \).
7. Второе уравнение: \( 5^x = -1 \). Показательная функция \( 5^x \) всегда положительна, поэтому это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 1.