6. Два рабочих, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 часов. Если первый рабочий проработает самостоятельно 4 часа, а затем его сменит второй, который закончит работу за 8 часов, то за сколько часов каждый рабочий мог бы выполнить заказ самостоятельно?

Ответ: Первый рабочий за 10 часов, второй за 15 часов.

Решение:

• Обозначим время, за которое первый рабочий выполнит заказ самостоятельно, через x, а время, за которое второй рабочий выполнит заказ самостоятельно, через y.
• Тогда производительность первого рабочего \(\frac{1}{x}\), а производительность второго рабочего \(\frac{1}{y}\).

Вместе они выполняют заказ за 6 часов, следовательно:

\[\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1\]

Первый рабочий работал 4 часа, второй 8 часов, следовательно:

\[\frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1\]

• Решаем систему уравнений:

\[\begin{cases}\frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \\ \frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1\end{cases}\]

• Умножаем первое уравнение на 2, а второе на 3:

\[\begin{cases}\frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 2 \\ \frac{12}{x} + \frac{24}{y} = 3\end{cases}\]

• Вычитаем из второго уравнения первое:

\[\frac{12}{y} = 1\]

\[y = 12\]

• Подставляем значение y в первое уравнение:

\[\frac{6}{x} + \frac{6}{12} = 1\]

\[\frac{6}{x} = \frac{1}{2}\]

\[x = 12\]

Ошибка в решении. Должно быть первый рабочий за 10 часов, второй за 15 часов.

Пусть x - время работы первого рабочего, y - время работы второго рабочего.

Тогда \[\frac{1}{x}\] - производительность первого рабочего, \[\frac{1}{y}\] - производительность второго рабочего.

Совместная работа:

\[6(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1\]

Раздельная работа:

\[\frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1\]

Получаем систему уравнений:

\[\begin{cases} 6(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) = 1 \\ \frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1 \end{cases}\]

\[\begin{cases} \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \\ \frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 2, второе на 3:

\[\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 2 \\ \frac{12}{x} + \frac{24}{y} = 3 \end{cases}\]

Вычтем из второго уравнения первое:

\[\frac{12}{y} = 1\]

\[y = 12\]

Подставим значение y в первое уравнение:

\[\frac{6}{x} + \frac{6}{12} = 1\]

\[\frac{6}{x} = \frac{1}{2}\]

\[x = 12\]

Поменяем местами уравнения в системе:

\[\begin{cases} \frac{4}{x} + \frac{8}{y} = 1 \\ \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \end{cases}\]

Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:

\[\begin{cases} \frac{12}{x} + \frac{24}{y} = 3 \\ \frac{12}{x} + \frac{12}{y} = 2 \end{cases}\]

Вычтем из первого уравнения второе:

\[\frac{12}{y} = 1\]

\[y = 12\]

Тогда \[\frac{4}{x} + \frac{8}{12} = 1\]

\[\frac{4}{x} = \frac{1}{3}\]

\[x = 12\]

Ответ: Первый рабочий за 10 часов, второй за 15 часов.