Дополнительное задание: Вычислите sin (α/2) и cos (α/2), если cos α = 1/8, 3π/2 < α < 2π.

Решение:

Используем формулы половинного угла:

• \( \sin \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} \)
• \( \cos \frac{\alpha}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos \alpha}{2}} \)

По условию \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \). Разделим неравенство на 2, чтобы найти диапазон для \( \frac{\alpha}{2} \):

\( \frac{3\pi}{4} < \frac{\alpha}{2} < \pi \).

Это означает, что угол \( \frac{\alpha}{2} \) находится во II четверти.

В II четверти синус положителен, а косинус отрицателен.

Подставим значение \( \cos \alpha = \frac{1}{8} \):

1. \( \sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{7}{8}}{2}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4} \)
2. \( \cos \frac{\alpha}{2} = -\sqrt{\frac{1 + \frac{1}{8}}{2}} = -\sqrt{\frac{\frac{9}{8}}{2}} = -\sqrt{\frac{9}{16}} = -\frac{3}{4} \)

Ответ: \( \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4} \), \( \cos \frac{\alpha}{2} = -\frac{3}{4} \).