4. Вычислите sin α, tg α, ctg α, если cos α = -5/13, π/2 < α < π.

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. Подставим значение \( \cos \alpha \): \( \sin^2 \alpha + \left(-\frac{5}{13}\right)^2 = 1 \)
2. \( \sin^2 \alpha + \frac{25}{169} = 1 \)
3. \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{169 - 25}{169} = \frac{144}{169} \)
4. \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} = \pm \frac{12}{13} \)
5. По условию \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \), это означает, что угол \( \alpha \) находится во II четверти, где синус положительный. Следовательно, \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \).
6. Вычислим \( \text{tg} \alpha \): \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{12/13}{-5/13} = -\frac{12}{5} \)
7. Вычислим \( \text{ctg} \alpha \): \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} = \frac{1}{-12/5} = -\frac{5}{12} \)

Ответ: \( \sin \alpha = \frac{12}{13} \), \( \text{tg} \alpha = -\frac{12}{5} \), \( \text{ctg} \alpha = -\frac{5}{12} \).