Докажите тождество $$\left( \frac{a}{a^2-25} - \frac{a-8}{a^2-10a+25} \right) : \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{2}{a+5}$$.

Решение:

Левая часть равенства:

1. Разложим знаменатели на множители:
   $$ a^2 - 25 = (a-5)(a+5) $$
   $$ a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2 $$
2. Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $$(a-5)^2(a+5)$$:
   $$ \frac{a(a-5)}{(a-5)^2(a+5)} - \frac{(a-8)(a+5)}{(a-5)^2(a+5)} $$
3. Выполним вычитание числителей:
   $$ \frac{a^2 - 5a - (a^2 + 5a - 8a - 40)}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{a^2 - 5a - (a^2 - 3a - 40)}{(a-5)^2(a+5)} $$
   $$ = \frac{a^2 - 5a - a^2 + 3a + 40}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{-2a + 40}{(a-5)^2(a+5)} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} $$
4. Теперь выполним деление:
   $$ \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} : \frac{a-20}{(a-5)^2} = \frac{-2(a-20)}{(a-5)^2(a+5)} \cdot \frac{(a-5)^2}{a-20} $$
5. Сократим общие множители:
   $$ \frac{-2}{a+5} $$

Правая часть равенства:

$$ \frac{2}{a+5} $$

Сравнение:

Левая часть равна $$\frac{-2}{a+5}$$, а правая часть равна $$\frac{2}{a+5}$$.

Вывод:

Исходное тождество неверно. Возможно, в условии была опечатка. Если бы в правой части было $$- \frac{2}{a+5}$$, то тождество было бы верным.