4. Докажите, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC (AB = BC), и медианы AM и CN проведены к боковым сторонам BC и AB соответственно.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABM и CBN. У них AB = BC (по условию), ∠A = ∠C (углы при основании равнобедренного треугольника равны), BM = BN (так как AM и CN - медианы, и AB = BC, то BM = BC/2, BN = AB/2, следовательно BM = BN).

Следовательно, треугольники ABM и CBN равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников следует равенство соответственных сторон, т.е. AM = CN. То есть медианы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Ответ: доказано, что в равнобедренном треугольнике медианы, проведенные к боковым сторонам, равны