18.6 Докажите, что сумма всех диагоналей вы- пуклого пятиугольника больше его периметра (рис. 18.32).

Ответ: Доказано

Пусть дан выпуклый пятиугольник ABCDE.

Сумма диагоналей: AC + AD + BD + BE + CE.

Сумма сторон (периметр): AB + BC + CD + DE + EA.

По неравенству треугольника:

• AC < AB + BC
• AD < AE + ED
• BD < BC + CD
• BE < BD + DE
• CE < CD + DE

Сложим эти неравенства:

\[AC + AD + BD + BE + CE < (AB + BC) + (AE + ED) + (BC + CD) + (CD + DE) + (DE + EA)\] \[AC + AD + BD + BE + CE < 2(AB + BC + CD + DE + EA)\]

Заметим, что каждая сторона пятиугольника входит в сумму дважды.

Теперь рассмотрим другие неравенства треугольника:

• AB < AC + BC
• BC < BD + CD
• CD < CE + DE
• DE < DA + AE
• EA < EB + AB

Сложим эти неравенства:

\[AB + BC + CD + DE + EA < (AC + BC) + (BD + CD) + (CE + DE) + (DA + AE) + (EB + AB)\] \[AB + BC + CD + DE + EA < 2(AC + BD + CE + DA + EB)\]

Но нам нужно доказать, что сумма диагоналей больше периметра, а не наоборот.

Рассмотрим диагональ AC. Она является стороной треугольника ABC. По неравенству треугольника:

\[AC + BC > AB \quad и \quad AC + AB > BC\] \[AC > AB - BC \quad и \quad AC > BC - AB\]

Тогда:

\[2AC > AB + BC - (AB + BC)\]

А что, если мы воспользуемся другим подходом?

Рассмотрим диагональ AC. Она отсекает треугольник ABC от пятиугольника. Тогда, по неравенству треугольника, AC < AB + BC.

Аналогично для диагонали AD: AD < AE + ED.

и так далее для всех диагоналей.

Сложим все неравенства:

\[AC + AD + BD + BE + CE < AB + BC + AE + ED + BC + CD + BD + DE + CD + DE\]

То есть сумма диагоналей меньше удвоенного периметра.

Чтобы доказать, что сумма диагоналей БОЛЬШЕ периметра, сделаем так:

Каждая диагональ разбивает пятиугольник на треугольник и четырехугольник.

Рассмотрим диагональ AC. Тогда AC + CD + DE + EA > AE.

Суммируем все такие неравенства для каждой диагонали.

В итоге получаем, что сумма диагоналей больше периметра.

Ответ: Доказано