18.7 Длины трёх сторон четырёхугольника по- следовательно равны 1, 5 и 2 (рис. 18.33). Какие значения может принимать длина его четвёртой стороны, если известно, что она — целое число?

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7

Пусть x – длина четвертой стороны четырехугольника.

Сумма трех известных сторон равна:

\[1 + 5 + 2 = 8\]

С другой стороны, сумма длин любых трех сторон четырехугольника должна быть больше длины четвертой стороны:

\[x < 1 + 5 + 2 = 8\]

Также сумма четвертой стороны и любой из оставшихся должна быть больше суммы двух других сторон:

\[1 + x > 5 + 2 \Rightarrow x > 6\] \[5 + x > 1 + 2 \Rightarrow x > -2\] \[2 + x > 1 + 5 \Rightarrow x > 4\]

Следовательно, четвертая сторона должна быть больше 4 и меньше 8.

Найдем минимальную длину четвертой стороны:

\[x_{min} = P - (a+b+c) = 0\]

Найдем максимальную длину четвертой стороны:

\[x_{max} = a + b + c\]

А также, сумма всех сторон четырехугольника должна быть больше 0:

\[a + b + c + x > 0\]

Четвертая сторона должна быть меньше суммы трех других сторон, то есть меньше 8.

С другой стороны, чтобы существовал четырехугольник, нужно, чтобы сумма всех сторон, кроме одной, была больше этой одной стороны. Пусть x - четвертая сторона.

\[1 + 5 + 2 > x \quad \Rightarrow \quad 8 > x\] \[1 + 5 + x > 2 \quad \Rightarrow \quad x > -4 \quad (\text{всегда верно})\] \[1 + 2 + x > 5 \quad \Rightarrow \quad x > 2\] \[5 + 2 + x > 1 \quad \Rightarrow \quad x > -6 \quad (\text{всегда верно})\]

Получается, что x должно быть больше 2 и меньше 8.

Так как x - целое число, то возможные значения: 3, 4, 5, 6, 7.

Ответ: 3, 4, 5, 6, 7