18.5 ☆☆ Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что АС + BD < AB + CD (рис. 18.31).

Ответ: Доказано

Пусть точка пересечения отрезков AB и CD - точка О.

Рассмотрим треугольник AOC. По неравенству треугольника:

\[AC < AO + OC \quad (1)\]

Рассмотрим треугольник BOD. По неравенству треугольника:

\[BD < BO + OD \quad (2)\]

Сложим неравенства (1) и (2):

\[AC + BD < AO + OC + BO + OD\]

Заметим, что AO + BO = AB и OC + OD = CD. Тогда:

\[AC + BD < AB + CD\]

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано