5. Докажите, что параллелограмм, у которого высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны, являет- ся ромбом.

Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$. $$BH$$ и $$BF$$ - высоты, проведенные из вершины тупого угла $$B$$, причем $$BH = BF$$. Нужно доказать, что $$ABCD$$ - ромб.

Доказательство:

1) Рассмотрим $$\triangle ABH$$ и $$\triangle CBF$$. У них: $$BH = BF$$ (по условию), $$\angle AHB = \angle CFB = 90^{\circ}$$. $$\angle BAH = \angle BCD$$ (как противоположные углы параллелограмма). Следовательно, $$\triangle ABH = \triangle CBF$$ по гипотенузе и острому углу.

2) Из равенства треугольников следует равенство сторон: $$AB = BC$$.

3) Параллелограмм, у которого две смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, $$ABCD$$ - ромб.

Ответ: Доказано, что параллелограмм, у которого высоты, проведенные из вершины тупого угла, равны, является ромбом.