3. Диагональ делит угол прямоугольника в отношении 1:2. Найдите диагональ прямоугольника, если мень- шая сторона равна 12 см.

Пусть $$ABCD$$ - прямоугольник, в котором диагональ $$AC$$ делит угол $$\angle BAD$$ в отношении 1:2, то есть $$\angle BAC : \angle CAD = 1:2$$. Обозначим $$\angle BAC = x$$, тогда $$\angle CAD = 2x$$. Так как $$\angle BAD = 90^{\circ}$$, то $$x + 2x = 90^{\circ}$$, $$3x = 90^{\circ}$$, $$x = 30^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle BAC = 30^{\circ}$$, $$\angle CAD = 60^{\circ}$$.

Пусть $$AB$$ - меньшая сторона прямоугольника, равная 12 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle ABC$$. В нём $$\angle BAC = 30^{\circ}$$. Катет, лежащий против угла в $$30^{\circ}$$, равен половине гипотенузы, то есть $$AB = \frac{1}{2}AC$$, следовательно, $$AC = 2AB = 2 \cdot 12 = 24$$ см.

Ответ: 24 см.