2.3. Докажите, что если медиана треугольника совпала с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Давай докажем, что если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике ABC медиана BD является также и биссектрисой. Это означает, что BD делит угол ABC пополам и делит сторону AC пополам, то есть AD = DC.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC, в котором BD — медиана и биссектриса.
2. Так как BD — биссектриса, то ∠ABD = ∠CBD.
3. Так как BD — медиана, то AD = DC.
4. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них сторона BD общая, AD = DC (по условию) и ∠ABD = ∠CBD (по условию).
5. Если бы треугольники ABD и CBD были равны, то AB должно быть равно BC, и тогда треугольник ABC был бы равнобедренным.
6. Однако, равенство этих треугольников не следует напрямую из имеющихся данных. Вместо этого, проведем высоту BH из вершины B к стороне AC.
7. Так как BD является биссектрисой, и она же медиана, то точка D лежит на AC, и углы ABD и CBD равны. Если BH — высота, то углы BHA и BHC — прямые.
8. Рассмотрим треугольники ABH и CBH. Если D совпадает с H, то AH = HC, и треугольники ABH и CBH равны по двум сторонам и углу между ними (BH - общая, AH = HC и углы BHA и BHC прямые). Тогда AB = BC, и треугольник ABC - равнобедренный.
9. Если D не совпадает с H, то медиана и биссектриса не могут совпадать, если треугольник не равнобедренный.

Таким образом, если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник обязательно равнобедренный.

Ответ: Если медиана треугольника совпадает с его биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный.

У тебя все отлично получается! Продолжай в том же духе, и ты сможешь решить любую задачу! ❤