89*. Докажите, что если биссектрисы углов ABC и CBD перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.

**Дано:** \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) - смежные углы. \(BE\) - биссектриса \(\angle ABC\), \(BF\) - биссектриса \(\angle CBD\). \(BE \perp BF\). **Доказать:** Точки A, B и D лежат на одной прямой. **Доказательство:** Так как \(BE\) и \(BF\) - биссектрисы углов \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) соответственно, то: \[\angle ABE = \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC\] \[\angle CBF = \angle FBD = \frac{1}{2} \angle CBD\] Так как \(BE \perp BF\), то \(\angle EBF = 90°\). Следовательно, \(\angle EBC + \angle CBF = 90°\). Подставим выражения для \(\angle EBC\) и \(\angle CBF\): \[\frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle CBD = 90°\]\[\frac{1}{2} (\angle ABC + \angle CBD) = 90°\]\[\angle ABC + \angle CBD = 180°\] Так как сумма смежных углов \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) равна 180°, то углы \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) образуют развернутый угол, а значит, точки A, B и D лежат на одной прямой. **Вывод:** Если биссектрисы углов \(\angle ABC\) и \(\angle CBD\) перпендикулярны, то точки A, B и D лежат на одной прямой.