Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр – 30 см. Найдите боковую сторону трапеции.

Пусть ABCD - равнобокая трапеция с основаниями BC и AD. Диагонали AC и BD перпендикулярны, высота равна 7 см, а периметр равен 30 см. Нужно найти боковую сторону AB.

Проведем высоту BH к основанию AD. Так как диагонали перпендикулярны, то треугольник AOD - прямоугольный и равнобедренный, где O - точка пересечения диагоналей. Тогда угол OAD = 45 градусов. Аналогично, угол OBC = 45 градусов. Значит, углы BAD и CDA также равны 45 градусам.

Так как угол BAH = 45 градусов, то треугольник ABH - прямоугольный и равнобедренный, следовательно, AH = BH = 7 см.

Так как трапеция равнобокая, то AH = (AD - BC) / 2 = 7 см. AD - BC = 14 см.

Периметр трапеции P = AB + BC + CD + AD = 30 см. Так как AB = CD, то 2AB + BC + AD = 30 см. 2AB + BC + BC + 14 = 30 см. 2AB + 2BC = 16 см. AB + BC = 8 см.

Из того, что AD - BC = 14 и AB + BC = 8, то выразим AD = BC + 14 и подставим в AB + BC = 8. Получаем AB = 8 - BC.

Тогда, по теореме Пифагора для треугольника ABH, AB^2 = AH^2 + BH^2 или AB^2 = 7^2 + 7^2 = 98. AB = sqrt(98) = 7*sqrt(2) см.

Ответ: 7$$\sqrt{2}$$ см