2. Найдите углы четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 32°, ∠ABD = 47°, ∠BAC = 84°.

В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, известны углы ∠ACB = 32°, ∠ABD = 47°, ∠BAC = 84°. 1. Найдем ∠ADC. ∠ADC = ∠ADB + ∠BDC. ∠ADB = ∠ACB как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (дугу AB). Следовательно, ∠ADB = 32°. ∠BDC = ∠BAC как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (дугу BC). Следовательно, ∠BDC = 84°. Тогда ∠ADC = 32° + 84° = 116°. 2. Найдем ∠ABC. ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC. ∠DBC = ∠DAC как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (дугу DC). ∠DAC = ∠BAC - ∠BAD. ∠BAD = ∠BDC как углы, опирающиеся на одну и ту же дугу (дугу BC). Следовательно, ∠BAD = 32°. Тогда ∠DAC = 84° - 47° = 37°. Следовательно, ∠DBC = 37°. Тогда ∠ABC = 47° + 37° = 84°. 3. В четырехугольнике ABCD сумма противоположных углов равна 180°, так как он вписан в окружность. Поэтому ∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°. 4. Найдем ∠BCD. ∠BCD = 180° - ∠BAD = 180° - (∠BAC - ∠DAC) = 180° - 47° = 133°. 5. Найдем ∠BAD = ∠BAC - ∠DAC = 84° - 37° = 47°. Ответ: ∠ADC = 116°, ∠ABC = 84°, ∠BCD = 133°, ∠BAD = 47°.