1. Точки M и K – середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно. Найдите периметр треугольника AMK, если AB = 12 см, BC = 8 см, AC = 14 см. 2. Одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. Найдите основания трапеции. 3. Две противолежащие стороны четырехугольника равны 9 см и 16 см. Чему равен периметр четырехугольника, если в него модно вписать окружность? 4. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона – 6 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам. 5. Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 36°, ∠ABD = 48°, ∠BAC= 85°. 6. * Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр 30 см. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение.

1. Точки M и K – середины сторон AB и AC треугольника ABC соответственно. Найдите периметр треугольника AMK, если AB = 12 см, BC = 8 см, AC = 14 см.

   MK – средняя линия треугольника ABC, следовательно, MK = 1/2 BC = 4 см. AM = 1/2 AB = 6 см. AK = 1/2 AC = 7 см.

   P(AMK) = AM + AK + MK = 6 + 7 + 4 = 17 см.

   Ответ: 17 см

2. Одно из оснований трапеции на 6 см больше другого, а её средняя линия равна 9 см. Найдите основания трапеции.

   Пусть x – меньшее основание, тогда (x + 6) – большее основание. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

   $$\frac{x + x + 6}{2} = 9$$ $$2x + 6 = 18$$ $$2x = 12$$ $$x = 6$$

   Меньшее основание равно 6 см, большее основание равно 6 + 6 = 12 см.

   Ответ: 6 см, 12 см

3. Две противолежащие стороны четырехугольника равны 9 см и 16 см. Чему равен периметр четырехугольника, если в него можно вписать окружность?

   В четырехугольник можно вписать окружность, если суммы противоположных сторон равны. Пусть a и c – противоположные стороны, равные 9 см и 16 см соответственно, b и d – другие стороны.

   Тогда a + c = b + d

   P = a + b + c + d = (a + c) + (b + d) = 2(a + c) = 2(9 + 16) = 2 × 25 = 50 см

   Ответ: 50 см

4. Большее основание равнобокой трапеции равно 10 см, а её боковая сторона – 6 см. Найдите периметр трапеции, если её диагональ делит острый угол трапеции пополам.

   Пусть ABCD – равнобокая трапеция, AD = 10 см, AB = CD = 6 см. Диагональ AC делит угол A пополам, следовательно, ∠BAC = ∠CAD. Так как AD || BC, то ∠CAD = ∠BCA как накрест лежащие углы. Из этого следует, что ∠BAC = ∠BCA, то есть треугольник ABC – равнобедренный, и BC = AB = 6 см.

   P = AD + BC + AB + CD = 10 + 6 + 6 + 6 = 28 см.

   Ответ: 28 см

5. Найдите углы четырехугольника ABCD, вписанного в окружность, если ∠ACB = 36°, ∠ABD = 48°, ∠BAC = 85°.

   ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC

   ∠BAD = ∠ABD + ∠ADB = 48 + 36 = 84

   ∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 84 - 85 = -1

   Ответ: Нет решения

6. Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, её высота равна 7 см, а периметр 30 см. Найдите боковую сторону трапеции.

   Диагонали равнобокой трапеции перпендикулярны, следовательно, высота трапеции равна полусумме оснований (средней линии трапеции).

   h = (a + b)/2 = 7 см, где a и b – основания трапеции.

   Периметр P = a + b + 2c = 30 см, где c – боковая сторона.

   a + b = 2h = 14 см

   14 + 2c = 30

   2c = 16

   c = 8 см

   Ответ: 8 см