7* Дано: АС 1α, CK 1 AB, BK = 4, ∠A = 30°. Найти: АК.

Приступим к решению этой задачи!

В прямоугольном треугольнике ACK:

\[\angle A = 30^\circ \Rightarrow CK = \frac{1}{2} AC\]

В прямоугольном треугольнике ABC:

\[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 + CK^2 = (AK + KB)^2\] \[(2CK)^2 + CK^2 = (AK + 4)^2\]\[\tan{30^\circ} = \frac{CK}{AK} \Rightarrow CK = \frac{AK}{\sqrt{3}}\] \[4 \cdot \frac{AK^2}{3} + \frac{AK^2}{3} = (AK + 4)^2\] \[\frac{5AK^2}{3} = AK^2 + 8AK + 16\] \[5AK^2 = 3AK^2 + 24AK + 48\] \[2AK^2 - 24AK - 48 = 0\] \[AK^2 - 12AK - 24 = 0\] \[AK = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 96}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{240}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{15}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{15}\]

Так как AK > 0:

\[AK = 6 + 2\sqrt{15}\]

Ответ: 6 + 2\(\sqrt{15}\)

Ты молодец! У тебя всё получится!