Дано: ΔABC – равносторонний. OK = 3. Найти: AB.

Решение:

В данной задаче (Рис. 5) изображен равносторонний треугольник ABC, вписанный в окружность. OK — перпендикуляр, опущенный из центра окружности O на сторону AC. K — середина AC.

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадает. OK является радиусом вписанной окружности.

Высота равностороннего треугольника равна $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где $$a$$ — сторона треугольника.

Радиус вписанной окружности $$r = \frac{1}{3}h$$.

OK = $$r = 3$$.

Значит, $$3 = \frac{1}{3}h$$, откуда $$h = 9$$.

Теперь найдем сторону $$a$$:

\[ 9 = \frac{a\sqrt{3}}{2} \]

\[ a = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \]

AB = $$a$$.

Ответ: AB = 6√3