Дано: ΔABC – равносторонний. Найти: AB.

Решение:

В данной задаче (Рис. 6) изображен равносторонний треугольник ABC, вписанный в окружность. O — центр окружности. OK — перпендикуляр, опущенный из центра окружности O на сторону AC. K — середина AC.

В равностороннем треугольнике центр вписанной и описанной окружности совпадает. OK является радиусом вписанной окружности.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равнобедренный, AO = BO = R. Угол AOB = 120°.

Рассмотрим треугольник AOC. Он равнобедренный, AO = CO = R. Угол AOC = 120°.

Рассмотрим треугольник BOC. Он равнобедренный, BO = CO = R. Угол BOC = 120°.

AK = KC. OK ⊥ AC.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности находится на высоте, а высота проходит через центр описанной окружности. OK — радиус вписанной окружности. AO — радиус описанной окружности.

В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности: R = 2r.

Так как OK — перпендикуляр из центра на хорду AC, то K — середина AC. Треугольник AOK — прямоугольный.

Угол AOC = 120°, значит угол AOK = 120°/2 = 60°.

В прямоугольном треугольнике AOK:

OK = AO * sin(∠OAK) = R * sin(30°) = R/2

AK = AO * cos(∠OAK) = R * cos(30°) = R√3/2

AC = 2 * AK = R√3.

Так как треугольник ABC равносторонний, то AB = AC = R√3.

Если OK — это радиус вписанной окружности, то OK = r. Если AO — радиус описанной окружности, то AO = R. И r = R/2.

В задаче не указано, что OK является радиусом вписанной окружности, но так как O — центр описанной окружности, а OK ⊥ AC, то K — середина AC. В равностороннем треугольнике медиана является и высотой, и биссектрисой.

Треугольник AOK — прямоугольный. Угол OAC = 30°. Угол AOK = 60°.

AK = AO * cos(30°) = R * √3/2.

AC = 2 * AK = R√3.

AB = AC = R√3.

По теореме синусов для ΔABC:

\[ \frac{AC}{\sin(60°)} = 2R \]

\[ \frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \]

\[ AC = 2R \times \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} \]

AB = AC = R√3.

В этой задаче не дано значение R, и не ясно, что такое OK. Если предположить, что OK = 3, и O — центр описанной окружности, а K — середина AC, то OK = 3.

В равностороннем треугольнике медиана (AK) является высотой, и точка пересечения медиан (O) делит медиану в соотношении 2:1. AO:OK = 2:1.

Если OK = 3, то AO = 2 * OK = 2 * 3 = 6. R = AO = 6.

AB = R√3 = 6√3.

Ответ: AB = 6√3