Дано: AB:BC = 1:2; AC = 5√5. Доказать: ABCD – прямоугольник. Найти: AB, BC.

Доказательство:

В данной задаче (Рис. 3) изображен четырехугольник ABCD, вписанный в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в центре окружности O. Вписанный четырехугольник является прямоугольником, если его диагонали равны.

Так как AC и BD являются диаметрами окружности, то AC = BD. Следовательно, четырехугольник ABCD является прямоугольником.

Решение:

Пусть AB = x. Тогда BC = 2x. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC:

AB² + BC² = AC²

\[ x^2 + (2x)^2 = (5\sqrt{5})^2 \]

\[ x^2 + 4x^2 = 25 \times 5 \]

\[ 5x^2 = 125 \]

\[ x^2 = 25 \]

\[ x = 5 \]

Тогда AB = 5, BC = 2 * 5 = 10.

Ответ: AB = 5, BC = 10