2. Дан параллелограмм DFBP, в котором на стороне BP взята произвольная точка R. Прямые FR и DP пересекаются в точке A, которая находится вне параллелограмма. Найдите RA и AP, если BR = 42 см, PR = 33.6 см, FR = 41 см, DP = 43 см.

Решение: 1. Определим BP = BR + RP = 42 + 33.6 = 75.6 см. 2. Рассмотрим треугольники ARP и ARF. Они имеют общую высоту, опущенную из точки R на сторону AP и AF соответственно. Тогда площади этих треугольников относятся как их основания: \( \frac{S_{ARP}}{S_{ARF}} = \frac{AP}{AF} \) 3. Также рассмотрим треугольники ADP и ABF. Они также имеют общую высоту, опущенную из точки A на сторону DP и BF соответственно. Тогда площади этих треугольников относятся как их основания: \( \frac{S_{ADP}}{S_{ABF}} = \frac{DP}{BF} \) 4. Так как DFBP - параллелограмм, то DP = BF = 43 см. 5. Рассмотрим треугольники FRP и DRA. Они подобны, так как углы при вершине R равны, углы FRP и RDA равны как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых FP и DB и секущей FR, и аналогично углы RFP и RAD равны. Следовательно, их стороны пропорциональны: \( \frac{FR}{AD} = \frac{RP}{AR} \) 6. Рассмотрим треугольники APR и AFP. Площади этих треугольников: \( S_{APR} = \frac{1}{2} cdot AP cdot h_1 \) \( S_{AFR} = \frac{1}{2} cdot AF cdot h_1 \) Где \( h_1 \) - высота, опущенная из точки R на AP и AF соответственно. Тогда: \( \frac{S_{APR}}{S_{AFR}} = \frac{AP}{AF} \) 7. Аналогично рассмотрим треугольники DAP и FAB: \( S_{DAP} = \frac{1}{2} cdot DP cdot h_2 \) \( S_{FAB} = \frac{1}{2} cdot BF cdot h_2 \) Где \( h_2 \) - высота, опущенная из точки A на DP и BF соответственно. Тогда: \( \frac{S_{DAP}}{S_{FAB}} = \frac{DP}{BF} = 1 \), так как DP = BF. 8. Рассмотрим треугольники FPR и APD. Они подобны, и отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия: \( \frac{S_{FPR}}{S_{APD}} = k^2 \) 9. Из подобия треугольников FPR и APD следует, что: \( \frac{FR}{AD} = \frac{RP}{AP} = \frac{FP}{AP} = k \) 10. Из подобия треугольников FRP и APD следует, что: \( \frac{FR}{AD} = \frac{RP}{AP} \) Тогда \( AP = \frac{AD cdot RP}{FR} \) Так как AD = FR + RA, то \( AP = \frac{(FR + RA) cdot RP}{FR} \) \( AP = \frac{(41 + RA) cdot 33.6}{41} \) 11. Рассмотрим треугольники RAP и RFP, высота из R до AP одна и та же. Тогда: \( \frac{S_{RAP}}{S_{RFP}} = \frac{AP}{FP} = \frac{AP}{BP - BR} = \frac{AP}{75.6 - 42} = \frac{AP}{33.6} \) Так как \( \frac{FR}{RA} = \frac{RP}{AP} \), то \( RA = \frac{FR cdot AP}{RP} = \frac{41 cdot AP}{33.6} \) Тогда \( AP = \frac{(41 + \frac{41 cdot AP}{33.6}) cdot 33.6}{41} \) \( AP = \frac{41 cdot 33.6 + \frac{41 cdot AP}{33.6} cdot 33.6}{41} \) \( AP = \frac{41 cdot 33.6 + 41 cdot AP}{41} \) \( AP = 33.6 + AP \) - получили противоречие. Ошибка в рассуждениях, необходимо использовать другие свойства параллелограмма. 1. Пусть \( RA = x \), \( AP = y \). 2. Рассмотрим треугольники \( FRA \) и \( DRA \). 3. Так как \( FR \) и \( DP \) пересекаются в точке \( A \), они образуют треугольник \( FRA \) и \( APD \). 4. По теореме Менелая для треугольника \( BAP \) и прямой \( FR \): \( \frac{BR}{RP} \cdot \frac{PA}{AF} \cdot \frac{FL}{LB} = 1 \) \( \frac{42}{33.6} \cdot \frac{AP}{AF} \cdot \frac{FL}{LB} = 1 \) \( \frac{5}{4} \cdot \frac{y}{AF} \cdot \frac{FL}{LB} = 1 \) 5. Также, по теореме Менелая для треугольника \( ABP \) и прямой \( DP \): \( \frac{BP}{PR} \cdot \frac{RA}{AF} \cdot \frac{FC}{CB} = 1 \) \( \frac{75.6}{33.6} \cdot \frac{x}{AF} \cdot \frac{FC}{CB} = 1 \) \( \frac{9}{4} \cdot \frac{x}{AF} \cdot \frac{FC}{CB} = 1 \) 6. Невозможно точно вычислить RA и AP из условия задачи. Ответ: Невозможно вычислить RA и AP на основе предоставленной информации.