'125 Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикуляр- ные к плоскости а и пересекающие её соответственно в точках Р1 и Q1. Найдите P1Q1, если PQ = 15 см, РР₁=21,5 см, QQ₁ = 33,5 см.

Дано: PP₁ ⊥ α, QQ₁ ⊥ α, PQ = 15 см, PP₁ = 21,5 см, QQ₁ = 33,5 см

Найти: P₁Q₁

Решение:

1) Рассмотрим четырехугольник PP₁Q₁Q. PP₁ ⊥ α и QQ₁ ⊥ α, следовательно, PP₁ || QQ₁.

2) Проведем плоскость через PP₁ и QQ₁. В этой плоскости лежат прямые PP₁ и QQ₁, а также точки P, Q, P₁, Q₁.

3) Опустим перпендикуляр PE из точки P на прямую QQ₁. Рассмотрим прямоугольный треугольник PQE.

QE = QQ₁ - EQ₁ = QQ₁ - PP₁ = 33,5 - 21,5 = 12 см

PQ = 15 см

По теореме Пифагора PE² = PQ² - QE² = 15² - 12² = 225 - 144 = 81

PE = √81 = 9 см

4) P₁Q₁ = PE = 9 см (т.к. четырехугольник PP₁Q₁E - прямоугольник, PE = P₁Q₁).

Ответ: 9 см.