Часть С. Напишите развернутый ответ на вопрос.

С1 Приращение аргумента. Приращение функции. Определение производной. Правила дифференцирования.

Приращение аргумента — это изменение значения независимой переменной. Обозначается \( \Delta x \). Если \( x_0 \) — начальное значение аргумента, а \( x \) — конечное, то \( \Delta x = x - x_0 \).

Приращение функции — это изменение значения функции, соответствующее приращению аргумента. Обозначается \( \Delta y \). Если \( y = f(x) \), то \( \Delta y = f(x) - f(x_0) = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \).

Определение производной:

Производной функции \( y = f(x) \) в точке \( x_0 \) называется предел отношения приращения функции \( \Delta y \) к приращению аргумента \( \Delta x \) при \( \Delta x \), стремящемся к нулю, если этот предел существует.

Математически это записывается так:

\[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

Правила дифференцирования:

Если \( f(x) \) и \( g(x) \) — дифференцируемые функции, а \( C \) — константа, то:

• Производная суммы (разности): \( (f(x) \pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x) \)
• Производная произведения на константу: \( (C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x) \)
• Производная произведения: \( (f(x) \cdot g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) \)
• Производная частного: \( \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2} \), при \( g(x) \neq 0 \).
• Производная сложной функции: Если \( y = f(u) \) и \( u = g(x) \), то \( y'_x = y'_u \cdot u'_x \).