B1 Вычислите $$10^{3-2\lg 5} + 6 \log_{\frac{1}{16}} \sqrt[3]{4}$$

Решение:

1. Вычислим первый член: \( 10^{3-2\lg 5} = 10^3 \cdot 10^{-2\lg 5} = 1000 \cdot 10^{\lg 5^{-2}} = 1000 \cdot 5^{-2} = 1000 \cdot \frac{1}{25} = 40 \)
2. Вычислим второй член: \( 6 \log_{\frac{1}{16}} \sqrt[3]{4} \)
• Преобразуем основание логарифма: \( \frac{1}{16} = 16^{-1} = (2^4)^{-1} = 2^{-4} \)
• Преобразуем аргумент логарифма: \( \sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} \)
• Теперь логарифм выглядит так: \( \log_{2^{-4}} 2^{\frac{2}{3}} \). Используем свойство логарифма \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \).
• \( \frac{\frac{2}{3}}{-4} \log_2 2 = \frac{2}{3 \cdot (-4)} \cdot 1 = \frac{2}{-12} = -\frac{1}{6} \)
• Умножим на 6: \( 6 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) = -1 \)
• Сложим результаты: \( 40 + (-1) = 39 \)

Ответ: 39.