B5 Объем конуса равен $$9\sqrt{3}\pi$$ см³. Найдите радиус основания конуса, если его осевое сечение – равносторонний треугольник.

Решение:

1. Осевое сечение конуса — это равносторонний треугольник. Пусть \( R \) — радиус основания конуса, \( H \) — высота конуса, \( L \) — образующая конуса.
2. В равностороннем треугольнике все стороны равны, значит, \( L = 2R \).
3. Высота равностороннего треугольника (и конуса) \( H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{4R^2 - R^2} = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3} \).
4. Объем конуса вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 H \).
5. Подставим выражение для \( H \) в формулу объёма: \( V = \frac{1}{3}\pi R^2 (R\sqrt{3}) = \frac{\pi R^3\sqrt{3}}{3} \).
6. По условию объём конуса равен \( 9\sqrt{3}\pi \) см³.
7. Приравняем полученное выражение к данному объёму: \( \frac{\pi R^3\sqrt{3}}{3} = 9\sqrt{3}\pi \)
8. Сократим \( \pi \) и \( \sqrt{3} \) из обеих частей уравнения: \( \frac{R^3}{3} = 9 \)
9. Умножим обе части на 3: \( R^3 = 27 \)
10. Извлечём кубический корень: \( R = \sqrt[3]{27} = 3 \)

Ответ: 3 см.