B3 Найдите положительную точку минимума функции $$f(x) = \frac{4}{5}x^3 - 4x^2 + \frac{1}{5}x^4$$.

Question

Вопрос:

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Чтобы найти точки минимума, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.
Найдём производную $ f'(x) $:
$ f'(x) = \left(\frac{4}{5}x^3 - 4x^2 + \frac{1}{5}x^4\right)' $
$ f'(x) = \frac{4}{5} \cdot 3x^2 - 4 \cdot 2x + \frac{1}{5} \cdot 4x^3 $
$ f'(x) = \frac{12}{5}x^2 - 8x + \frac{4}{5}x^3 $
Приравняем производную к нулю: $ \frac{4}{5}x^3 + \frac{12}{5}x^2 - 8x = 0 $
Вынесем общий множитель $ \frac{4}{5}x $:
$ \frac{4}{5}x \left( x^2 + 3x - 10 \right) = 0 $
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

Решим квадратное уравнение $ x^2 + 3x - 10 = 0 $ через дискриминант:
$ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 $
$ \sqrt{D} = 7 $
$ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 $
$ x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 $
Итак, критические точки: $ x = -5, x = 0, x = 2 $.
Теперь определим, в какой из точек функция имеет минимум. Для этого исследуем знаки производной на интервалах:

При $ x < -5 $ (например, $ x = -6 $): $ f'(-6) = \frac{4}{5}(-6)((-6)^2 + 3(-6) - 10) = - \frac{24}{5}(36 - 18 - 10) = - \frac{24}{5}(8) < 0 $ (функция убывает).
При $ -5 < x < 0 $ (например, $ x = -1 $): $ f'(-1) = \frac{4}{5}(-1)((-1)^2 + 3(-1) - 10) = - \frac{4}{5}(1 - 3 - 10) = - \frac{4}{5}(-12) > 0 $ (функция возрастает).
При $ 0 < x < 2 $ (например, $ x = 1 $): $ f'(1) = \frac{4}{5}(1)(1^2 + 3(1) - 10) = \frac{4}{5}(1 + 3 - 10) = \frac{4}{5}(-6) < 0 $ (функция убывает).
При $ x > 2 $ (например, $ x = 3 $): $ f'(3) = \frac{4}{5}(3)(3^2 + 3(3) - 10) = \frac{12}{5}(9 + 9 - 10) = \frac{12}{5}(8) > 0 $ (функция возрастает).

Точка минимума находится там, где производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит в точке $ x = -5 $ и $ x = 2 $.
По условию нужно найти положительную точку минимума.

Ответ: 2.