Часть II. 1. (2 балла). Решите уравнение \(\frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4}\)

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю. Заметим, что \( x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \).

\( \frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{(x-2)(x+2)} \)

Умножим обе части уравнения на \( (x-2)(x+2) \), предварительно найдя ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).

\( x(x+2) - 7(x-2) = 8 \)

Раскроем скобки:

\( x^2 + 2x - 7x + 14 = 8 \)

Приведём подобные члены:

\( x^2 - 5x + 14 - 8 = 0 \)

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \).

Корни: \( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \) и \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \).

Однако, \( x \neq 2 \) по ОДЗ. Поэтому, единственный корень — \( x = 3 \).

Ответ: 3.