2. (4 балла). Лодка может проплыть 15 км по течению реки и ещё 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч.

Решение:

Пусть \( x \) км/ч — скорость течения реки. Тогда:

• Скорость лодки по течению: \( (8 + x) \) км/ч.
• Скорость лодки против течения: \( (8 - x) \) км/ч.
• Скорость плота (равна скорости течения): \( x \) км/ч.

Время, затраченное лодкой на путь по течению:

\( t_1 = \frac{15}{8+x} \) ч.

Время, затраченное лодкой на путь против течения:

\( t_2 = \frac{6}{8-x} \) ч.

Время, затраченное плотом на путь:

\( t_3 = \frac{5}{x} \) ч.

По условию, \( t_1 + t_2 = t_3 \).

\( \frac{15}{8+x} + \frac{6}{8-x} = \frac{5}{x} \)

Приведем к общему знаменателю \( x(8+x)(8-x) = x(64-x^2) \):

\( 15x(8-x) + 6x(8+x) = 5(64-x^2) \)
\( 120x - 15x^2 + 48x + 6x^2 = 320 - 5x^2 \)
\( -9x^2 + 168x = 320 - 5x^2 \)
\( -4x^2 + 168x - 320 = 0 \)
\( x^2 - 42x + 80 = 0 \)

Решим квадратное уравнение:

\( D = (-42)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 80 = 1764 - 320 = 1444 \)
\( \sqrt{D} = 38 \)
\( x_1 = \frac{42 + 38}{2} = \frac{80}{2} = 40 \) (км/ч) — не подходит, так как скорость течения не может быть больше скорости лодки.
\( x_2 = \frac{42 - 38}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) (км/ч).

Проверим полученный ответ:

• Скорость лодки по течению: \( 8+2=10 \) км/ч. Время: \( \frac{15}{10} = 1.5 \) ч.
• Скорость лодки против течения: \( 8-2=6 \) км/ч. Время: \( \frac{6}{6} = 1 \) ч.
• Общее время лодки: \( 1.5 + 1 = 2.5 \) ч.
• Скорость плота: \( 2 \) км/ч. Время: \( \frac{5}{2} = 2.5 \) ч.

Время совпадает.

Ответ: 2 км/ч.