C1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции: f(x) = 2 cos x + sin 2x на отрезке [0; π]

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) = 2 \cos x + \sin 2x \).
2. \( f'(x) = -2\sin x + 2\cos 2x \).
3. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
4. \( -2\sin x + 2\cos 2x = 0 \)
5. \( \cos 2x = \sin x \)
6. Используем формулу двойного угла для косинуса: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).
7. \( 1 - 2\sin^2 x = \sin x \)
8. Перенесем все в одну сторону: \( 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 \).
9. Сделаем замену: пусть \( y = \sin x \). Тогда \( 2y^2 + y - 1 = 0 \).
10. Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант: \( D = 1^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \).
11. \( \sqrt{D} = 3 \).
12. Найдем корни для \( y \):
• \( y_1 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)
• \( y_2 = \frac{-1 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1 \)
13. Теперь вернемся к замене \( y = \sin x \) и найдем \( x \) на отрезке \( [0; \pi] \).
14. Случай 1: \( \sin x = \frac{1}{2} \).
15. На отрезке \( [0; \pi] \) это происходит при \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).
16. Случай 2: \( \sin x = -1 \).
17. На отрезке \( [0; \pi] \) это происходит при \( x = \frac{3\pi}{2} \), но этот корень выходит за пределы отрезка \( [0; \pi] \).
18. Критическими точками на отрезке \( [0; \pi] \) являются \( x = \frac{\pi}{6} \) и \( x = \frac{5\pi}{6} \).
19. Вычислим значения функции в критических точках и на концах отрезка:
• \( f(0) = 2\cos 0 + \sin (2 · 0) = 2 \cdot 1 + \sin 0 = 2 + 0 = 2 \).
• \( f(\frac{\pi}{6}) = 2\cos \frac{\pi}{6} + \sin (2 · \frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \) (приблизительно \( 3 \cdot 1.732 / 2 \approx 2.598 \)).
• \( f(\frac{5\pi}{6}) = 2\cos \frac{5\pi}{6} + \sin (2 · \frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin \frac{5\pi}{3} = -\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \) (приблизительно \( -2.598 \)).
• \( f(\pi) = 2\cos \pi + \sin (2 \cdot \pi) = 2 \cdot (-1) + \sin 2\pi = -2 + 0 = -2 \).
20. Сравним полученные значения: \( 2, \frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -2 \).
21. Наибольшее значение: \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
22. Наименьшее значение: \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).

Ответ: Наибольшее значение: \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \), Наименьшее значение: \( -\frac{3\sqrt{3}}{2} \).