A3. Вычислить: 2log3 6 - 1/2 log3 400 + 3log3 √45

Решение:

1. Воспользуемся свойствами логарифмов: \( \log_b a^n = n \log_b a \), \( \log_b (ac) = \log_b a + \log_b c \), \( \log_b (a/c) = \log_b a - \log_b c \).
2. Приведем все логарифмы к основанию 3.
3. \( 2\log_3 6 = \log_3 6^2 = \log_3 36 \)
4. \( \frac{1}{2}\log_3 400 = \log_3 \sqrt{400} = \log_3 20 \)
5. \( 3\log_3 \sqrt{45} = \log_3 (\sqrt{45})^3 = \log_3 (45\sqrt{45}) = \log_3 (45 \cdot 3\sqrt{5}) = \log_3 (135\sqrt{5}) \)
6. Теперь подставим обратно в выражение: \( \log_3 36 - \log_3 20 + \log_3 (135\sqrt{5}) \)
7. \( \log_3 \frac{36}{20} + \log_3 (135\sqrt{5}) = \log_3 \frac{9}{5} + \log_3 (135\sqrt{5}) \)
8. \( \log_3 (\frac{9}{5} \cdot 135\sqrt{5}) = \log_3 (9 \cdot 27\sqrt{5}) = \log_3 (243\sqrt{5}) \)

Ответ: \( \log_3 (243\sqrt{5}) \).