B3. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b, осью Ох и графиком функции y = f(x): a = 0, b = 2, f(x) = x³ + 1

Решение:

1. Площадь криволинейной трапеции находится по формуле: \( S = \int_a^b f(x) dx \).
2. В данном случае \( a = 0 \), \( b = 2 \), \( f(x) = x^3 + 1 \).
3. \( S = \int_0^2 (x^3 + 1) dx \)
4. Найдем первообразную функции \( x^3 + 1 \):
5. \( \int (x^3 + 1) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + x + C = \frac{x^4}{4} + x + C \).
6. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = F(b) - F(a) \).
7. \( S = \left[ \frac{x^4}{4} + x \right]_0^2 \)
8. \( S = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) - \left( \frac{0^4}{4} + 0 \right) \)
9. \( S = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) - (0) \)
10. \( S = (4 + 2) \)
11. \( S = 6 \).

Ответ: 6.