A9. Найти: tg a, если cos a = -√5/3 и π < a < 3π/2

Решение:

1. Нам дан \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{5}}{3} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \). Этот интервал соответствует третьей четверти, где \( \cos \alpha < 0 \) и \( \sin \alpha < 0 \).
2. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).
3. \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \)
4. \( \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 \)
5. \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{5}{9} \)
6. \( \sin^2 \alpha = \frac{9-5}{9} = \frac{4}{9} \)
7. Так как \( \alpha \) находится в третьей четверти, \( \sin \alpha < 0 \).
8. \( \sin \alpha = -\sqrt{\frac{4}{9}} = -\frac{2}{3} \).
9. Теперь найдем \( \operatorname{tg} \alpha \) по формуле: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
10. \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{-2/3}{- \sqrt{5}/3} \)
11. \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2/3}{\sqrt{5}/3} \)
12. \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
13. Рационализируем знаменатель: \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Ответ: \( \frac{2\sqrt{5}}{5} \).