Билет №19: 1. Квадрат. Свойства квадрата. Вывод формул площади квадрата. 2. Вывод значений тригонометрических функций для угла в 45°.

Решение:

• 1. Квадрат: Прямоугольник, у которого все стороны равны.Свойства квадрата:
  • Все свойства прямоугольника (все углы прямые, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам).
  • Все стороны равны.
  • Диагонали перпендикулярны.
  • Диагонали делят углы квадрата пополам (образуя углы 45°).
  Вывод формул площади квадрата:
  • S = a², где a – сторона квадрата. (Это следует из формулы площади прямоугольника, где длина и ширина равны).
  • S = d² / 2, где d – диагональ квадрата. Доказательство: В квадрате диагонали перпендикулярны и равны. Они делят квадрат на 4 равных прямоугольных треугольника. Площадь одного такого треугольника равна (1/2) * (d/2) * (d/2) = d²/8. Так как таких треугольников 4, то площадь квадрата S = 4 * (d²/8) = d²/2.
• 2. Значения тригонометрических функций для угла 45°:Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол C = 90°, и угол A = 45°. Так как сумма углов треугольника 180°, то угол B = 180° - 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный, и катеты равны: AC = BC = a. Гипотенузу AB найдем по теореме Пифагора: AB² = AC² + BC² = a² + a² = 2a². Значит, AB = √(2a²) = a√2.
  • sin 45° = (противолежащий катет) / (гипотенуза) = a / (a√2) = 1/√2 = √2/2
  • cos 45° = (прилежащий катет) / (гипотенуза) = a / (a√2) = 1/√2 = √2/2
  • tg 45° = (противолежащий катет) / (прилежащий катет) = a / a = 1