Билет №16: 1. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Доказательство одного из них. 2. Решение прямоугольного треугольника по двум катетам.

Решение:

• 1. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике:
  • a² = c * p, где a – катет, c – гипотенуза, p – проекция катета a на гипотенузу.
  • b² = c * q, где b – катет, c – гипотенуза, q – проекция катета b на гипотенузу.
  • h² = p * q, где h – высота, проведенная к гипотенузе, p и q – отрезки, на которые высота делит гипотенузу.
  • a * b = c * h, произведение катетов равно произведению гипотенузы на высоту, проведенную к ней.
  Доказательство соотношения a² = c * p: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (угол C = 90°). CD – высота, проведенная к гипотенузе AB. AD = p, AC = a, AB = c. Треугольники ADC и ACB подобны (по двум углам: угол A общий, углы ADC и ACB равны 90°). Из подобия следует: AC/AB = AD/AC. Подставляем значения: a/c = p/a. Перемножая крест-накрест, получаем a² = c * p.
• 2. Решение прямоугольного треугольника по двум катетам: Если известны два катета a и b, то:
  • Гипотенузу c найдем по теореме Пифагора: c = √(a² + b²).
  • Углы A и B найдем с помощью тангенса: tg A = a/b, tg B = b/a. Затем находим углы по значению тангенса (A = arctg(a/b), B = arctg(b/a)).