Билет №18: 1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Свойство диагоналей прямоугольника с доказательством. 2. Свойства равнобокой трапеции с доказательством.

Решение:

• 1. Прямоугольник: Параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°).Свойства прямоугольника:
  • Все свойства параллелограмма.
  • Все углы равны 90°.
  Свойство диагоналей: Диагонали прямоугольника равны.Пусть дан прямоугольник ABCD. Проведем диагонали AC и BD. Рассмотрим треугольники ABC и BAD. AB – общая сторона. BC = AD (как противоположные стороны прямоугольника). Угол ABC = Угол BAD = 90° (по определению прямоугольника). По двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), треугольники ABC и BAD равны. Следовательно, AC = BD.
• 2. Равнобокая трапеция: Трапеция, у которой боковые стороны равны.Свойства равнобокой трапеции:
  • Углы при каждом основании равны.
  • Диагонали равны.
  • Сумма противоположных углов равна 180°.
  Доказательство свойства: Углы при каждом основании равны.Пусть ABCD – равнобокая трапеция с основаниями BC и AD, и AB = CD. Проведем высоту BH к основанию AD. Проведем высоту CK к основанию AD. Рассмотрим треугольники ABH и DCK. AB = CD (по условию). BH = CK (как высоты трапеции). Углы AHB = Угол DKC = 90°. По катету и гипотенузе (третий признак равенства прямоугольных треугольников), треугольники ABH и DCK равны. Следовательно, AH = DK. Углы BAH и CDK равны как углы при основании равнобокой трапеции. Также, из равенства треугольников, следует, что BH = CK. Углы CBH и DCK мы не можем напрямую доказать равенство. Теперь рассмотрим углы при основании AD. Угол DAB = Угол CDA. Рассмотрим углы при основании BC. Пусть проведем из B и C прямые, параллельные боковым сторонам AB и CD соответственно, до пересечения с AD. Это не даст нам прямого доказательства. Проведем диагонали AC и BD. Рассмотрим треугольники ADC и BCD. CD = BC (по условию). AD - общая. Угол ADC = Угол BCD. Это не верно. Рассмотрим треугольники ABD и DCA. AB = DC (по условию). AD - общая. Углы ADB и DAC не равны. Другой подход к доказательству равенства углов при основании: Пусть ABCD - равнобокая трапеция с основаниями BC || AD и AB = CD. Проведем высоту BH к AD. В прямоугольном треугольнике ABH: sin A = BH/AB. Проведем высоту CK к AD. В прямоугольном треугольнике DCK: sin D = CK/CD. Так как BH = CK и AB = CD, то sin A = sin D. Поскольку A и D - углы трапеции (и остроконечные или прямые, но не тупые одновременно), то A = D. Аналогично доказывается равенство углов B и C.