Билет № 15. 1. Центральный угол. Вписанный угол. 2. Площадь трапеции (формулировка и доказательство). 3. Найлите площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно 10см, а боковая сторона равна 13см.

1. Центральный угол. Вписанный угол:

Центральный угол: Угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны пересекают окружность.

Вписанный угол: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Связь: Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

2. Площадь трапеции:

Формулировка: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Доказательство:

1. Пусть ABCD — трапеция с основаниями AD и BC, и высотой h.
2. Проведем диагональ BD. Трапеция разобьется на два треугольника: ABD и BCD.
3. Площадь треугольника ABD равна (1/2) * AD * h.
4. Площадь треугольника BCD равна (1/2) * BC * h.
5. Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей этих треугольников:
6. S_трапеции = S_ABD + S_BCD = (1/2) * AD * h + (1/2) * BC * h = (1/2) * h * (AD + BC).
7. Это и есть формула площади трапеции: S = ( (a+b) / 2 ) * h, где a и b — основания, h — высота.

3. Площадь равнобедренного треугольника:

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Основание AC = 10 см.
• Боковая сторона AB = BC = 13 см.

Найти:

• Площадь треугольника.

Решение:

1. Площадь треугольника равна (1/2) * основание * высота.
2. Найдем высоту BH, проведенную к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой.
3. Следовательно, точка H делит основание AC пополам: AH = HC = AC / 2 = 10 см / 2 = 5 см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора: AB² = AH² + BH².
5. 13² = 5² + BH².
6. 169 = 25 + BH².
7. BH² = 169 - 25 = 144.
8. BH = √144 = 12 см.
9. Теперь найдем площадь треугольника: S = (1/2) * AC * BH = (1/2) * 10 см * 12 см = 5 * 12 = 60 см².

Ответ: 60 см²