3. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см. а больший угол равен 135°.

Решение:

1. Построение трапеции: Нарисуем прямоугольную трапецию ABCD, где AB || CD и угол ADC = 90°.
2. Углы: По условию, две меньшие стороны равны 6 см. Это могут быть:
• a) AB = 6 см и AD = 6 см (если CD > AB)
• b) AD = 6 см и CD = 6 см (если AB > CD)
3. Больший угол 135°: В прямоугольной трапеции углы при одной из боковых сторон (например, при AD) равны 90°. Значит, больший угол (135°) должен быть при той боковой стороне, где основания не параллельны (например, BC). Предположим, угол BCD = 135°.
4. Анализ: В прямоугольной трапеции сумма углов, прилежащих к одной из боковых сторон, равна 180°. Если угол ADC = 90°, то угол BCD должен быть 90°, что противоречит условию (135°).
5. Переформулировка: Вероятно, имелось в виду, что трапеция не прямоугольная, а две меньшие стороны равны 6 см, и один из углов равен 135°. Или же, что трапеция прямоугольная, и два угла при одном основании равны 90°, а меньшие стороны (не параллельные) равны 6 см.
6. Наиболее вероятное толкование: Пусть ABCD — прямоугольная трапеция, AB || CD, AD ⊥ CD. Тогда AD и AB — меньшие стороны, равные 6 см. Если AD = 6 см, то CD < AB. Если AB = 6 см, то CD < AB. Угол при основании CD равен 90°, значит, больший угол 135° должен быть при основании AB, например, угол ABC = 135°.
7. Построение для случая AD = 6, AB = 6: В этом случае трапеция будет прямоугольником. Однако, если это трапеция, то CD ≠ AB.
8. Рассмотрим случай, когда боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, равна 6 см: Пусть AD = 6 см (высота), а CD = 6 см (меньшее основание). Угол ABC = 135°. Тогда угол BCD = 180° - 135° = 45°.
9. Вычисление: Проведем высоту BH из вершины B к основанию CD. Тогда ABCD — прямоугольная трапеция, AD = BC = 6 см. Угол BCD = 45°. В прямоугольном треугольнике BHC: угол HBC = 90° - 45° = 45°. Значит, треугольник BHC равнобедренный, BH = HC = 6 см. Тогда большее основание CD = CH + HD = 6 + 6 = 12 см.
10. Площадь: Площадь прямоугольной трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S = ( (CD + AB) / 2 ) * AD = ( (6 + 12) / 2 ) * 6 = (18 / 2) * 6 = 9 * 6 = 54 см².

Ответ: 54 см²