Билет № 12. 1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. 2. Теорема об окружности, описанной около треугольника (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60°.

1. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике:

• Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.
• Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, прилежащим к этому катету.

2. Теорема об окружности, описанной около треугольника:

Формулировка: Около любого треугольника можно описать окружность. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Доказательство:

1. Пусть ABC — произвольный треугольник.
2. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC. Пусть они пересекаются в точке O.
3. Любая точка на серединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка.
4. Следовательно, OA = OB (так как O лежит на серединном перпендикуляре к AB) и OB = OC (так как O лежит на серединном перпендикуляре к BC).
5. Таким образом, OA = OB = OC.
6. Это означает, что точка O равноудалена от всех вершин треугольника ABC.
7. Следовательно, существует окружность с центром O и радиусом R = OA = OB = OC, проходящая через все вершины треугольника. Эта окружность и есть описанная окружность.
8. Также, если провести серединный перпендикуляр к стороне AC, он также пройдет через точку O, так как OA = OC.

3. Площадь прямоугольника:

Дано:

• Прямоугольник ABCD.
• Одна сторона (например, AB) = 5 см.
• Угол между диагоналями (например, ∠AOB) = 60°.

Найти:

• Площадь прямоугольника S.

Решение:

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Тогда AO = BO = CO = DO.
2. Рассмотрим треугольник AOB. Так как AO = BO, он равнобедренный. Угол ∠AOB = 60°.
3. Сумма углов в треугольнике AOB равна 180°. Следовательно, ∠OAB + ∠OBA + ∠AOB = 180°.
4. Так как треугольник AOB равнобедренный с углом 60°, то он равносторонний. Все его углы равны 60°.
5. Значит, AO = BO = AB = 5 см.
6. Диагональ AC = AO + OC = 5 см + 5 см = 10 см.
7. Диагональ BD = BO + OD = 5 см + 5 см = 10 см.
8. В прямоугольнике ABCD, по теореме Пифагора: AB² + BC² = AC².
9. 5² + BC² = 10².
10. 25 + BC² = 100.
11. BC² = 75.
12. BC = √75 = 5√3 см.
13. Площадь прямоугольника S = AB * BC = 5 см * 5√3 см = 25√3 см².

Ответ: 25√3 см²