Билет № 11. 1. Медиана треугольника. Определение. Свойство точки пересечения медиан треугольника. 2. Площадь параллелограмма (формулировка и доказательство). 3. Две стороны треугольника равны 7,5 см и 3,2 см. Высота, проведенная к большей стороне, равна 2,4 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей из данных сторон.

1. Медиана треугольника:

Определение: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойство точки пересечения медиан: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

2. Площадь параллелограмма:

Формулировка: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

Доказательство:

1. Пусть ABCD — параллелограмм. Проведем высоту BH к стороне AD.
2. Площадь параллелограмма равна площади прямоугольника ABEH плюс площадь треугольника ABE, минус площадь треугольника CDH.
3. Но треугольники ABE и CDH равны (по гипотенузе и острому углу, так как AB = CD, ∠AEB = ∠CHD = 90°, ∠BAE = ∠CDH как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AD).
4. Следовательно, площадь параллелограмма равна площади прямоугольника ABE'H', где E'H' = AD.
5. Площадь этого прямоугольника равна произведению его сторон: AB * BH.
6. Таким образом, S_параллелограмма = AD * BH.

3. Нахождение высоты треугольника:

Дано:

• Сторона a = 7,5 см
• Сторона b = 3,2 см
• Высота h_a = 2,4 см (к большей стороне a)

Найти:

• Высоту h_b к меньшей стороне b

Решение:

1. Площадь треугольника можно вычислить по формуле: S = (1/2) * сторона * высота.
2. Используем данные для большей стороны: S = (1/2) * a * h_a = (1/2) * 7,5 см * 2,4 см.
3. S = (1/2) * 18 = 9 см².
4. Теперь используем ту же площадь для нахождения высоты к меньшей стороне: S = (1/2) * b * h_b.
5. 9 см² = (1/2) * 3,2 см * h_b.
6. 9 = 1,6 * h_b.
7. h_b = 9 / 1,6 = 90 / 16 = 45 / 8 = 5,625 см.

Ответ: 5,625 см