Билет № 13. 1. Свойство описанного четырехугольника. 2. Свойства ромба (формулировка и доказательство). 3. Найдите углы выпуклого четырехугольника, если они пропорциональны числам 1,2,4,5.

1. Свойство описанного четырехугольника:

Формулировка: Для того чтобы четырехугольник можно было описать около окружности, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противоположных сторон были равны.

То есть, если ABCD — четырехугольник, описанный около окружности, то AB + CD = BC + AD.

2. Свойства ромба:

Формулировка:

• Все стороны ромба равны.
• Противоположные углы ромба равны.
• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
• Диагонали ромба делят его углы пополам.
• Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство (например, перпендикулярности диагоналей):

1. Пусть ABCD — ромб. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
2. По свойству ромба, все стороны равны: AB = BC = CD = AD.
3. Рассмотрим треугольники AOB и COB. AB = CB (стороны ромба), AO = CO (точка пересечения диагоналей делит их пополам), BO — общая сторона.
4. Следовательно, треугольники AOB и COB равны по трем сторонам (по признаку равенства треугольников).
5. Значит, ∠AOB = ∠COB.
6. Так как ∠AOB и ∠COB — смежные углы, их сумма равна 180°.
7. 2 * ∠AOB = 180°, откуда ∠AOB = 90°.
8. Следовательно, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

3. Нахождение углов четырехугольника:

Дано:

• Выпуклый четырехугольник ABCD.
• Углы пропорциональны числам 1, 2, 4, 5.

Найти:

• Величины углов.

Решение:

1. Пусть углы четырехугольника равны k, 2k, 4k, 5k, где k — коэффициент пропорциональности.
2. Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360°.
3. k + 2k + 4k + 5k = 360°.
4. 12k = 360°.
5. k = 360° / 12 = 30°.
6. Теперь найдем величины углов:
• Угол 1 = k = 30°.
• Угол 2 = 2k = 2 * 30° = 60°.
• Угол 3 = 4k = 4 * 30° = 120°.
• Угол 4 = 5k = 5 * 30° = 150°.

Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°