12) APSR – прямоугольный, cos R = \(\frac{\sqrt{13}}{7}\).

Решение

В прямоугольном треугольнике \(\triangle PSR\) косинус угла R равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, то есть:

\[ cos R = \frac{SR}{PR} \]

Нам дано, что \( cos R = \frac{\sqrt{13}}{7} \) и \( PR = 21 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ \frac{\sqrt{13}}{7} = \frac{SR}{21} \]

Выразим \( SR \) :

\[ SR = \frac{21 \cdot \sqrt{13}}{7} = 3 \sqrt{13} \]

Теперь, когда мы знаем гипотенузу \( PR = 21 \) и катет \( SR = 3\sqrt{13} \), можем найти катет \( PS \) используя теорему Пифагора:

\[ PS^2 + SR^2 = PR^2 \] \[ PS^2 + (3\sqrt{13})^2 = 21^2 \] \[ PS^2 + 9 \cdot 13 = 441 \] \[ PS^2 + 117 = 441 \] \[ PS^2 = 441 - 117 = 324 \] \[ PS = \sqrt{324} = 18 \]

Таким образом, \( x = PS = 18 \).

Ответ: \( x = 18 \)

Проверка за 10 секунд: Косинус угла R равен \(\frac{\sqrt{13}}{7}\), что соответствует отношению \(3\sqrt{13}/21\). Теорема Пифагора подтверждает, что 18 является правильным значением для PS.

Доп. профит: Читерский прием: Зная косинус и гипотенузу, можно быстро найти прилежащий катет. Затем используем теорему Пифагора для нахождения второго катета.