А8. Найдите площадь фигуры, изображенной на рисунке 1.

Рисунок 1 представляет собой параболу, симметричную относительно оси y. Её уравнение, судя по форме, может быть \( y = ax^2 \).

Через точки \( (-1, 1) \) и \( (1, 1) \) проходит парабола. Подставляем \( x=1, y=1 \): \( 1 = a(1)^2 \Rightarrow a = 1 \).

Таким образом, уравнение параболы: \( y = x^2 \).

Фигура ограничена параболой \( y = x^2 \) и линией \( y = 1 \).

Площадь находится как интеграл разности функций:

\[ S = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{1} = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( -1 - \frac{(-1)^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - \left( -1 - \frac{-1}{3} \right) = \left( \frac{2}{3} \right) - \left( -1 + \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3} \]

Ответ: 4) \( \frac{4}{3} \)